ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es encontrar los factores, dado el producto. Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado la primera expresión. Ejemplo: sí; (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6 Tenemosque, x + 2 y (x + 3) son factores de x 2 + 5x + 6 , así pues, factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado. Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos procedimientos.
1.
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.
Cuando en los diversos términos de unpolinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común. Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f) g) h)
a + 2a = a(a + 2) 10b + 30ab = 10b(1 + 3ab) 10a + 5a + 15a
32 4 2 3 2 2
= 5a(2a + 1 + 3a )
2 2 2 4 5 2 2 3 5
2
5a b x + 15a bx ? 35a b x y = 5a bx(ab + 3a x ? 7bx y ) 12a b ? 30a b + 18ab ? 42a b = 6ab(2ab ? 5a b + 3b ? 7a ) 15a x ? 30a x + 105a x ? 75a x = 15a x (1 ? 2x + 7x ? 5x ) ? 44ax + 22a bx x
m +n n 2 n +1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 2 3 2 3 3 2 4 4 2 2 3 3
? 66a x
n 2m
3
n+ 2
= 22ax ( ?2 + abx ? 3a x )
m n ?1
n
2
2
y?x
n
2n
y
m +n
?x y
= x y(x y
n
?x y
n
m+ n ?1
?y
2m ?1
)
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
4-1
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FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS
2.
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.
Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.
a).
Factorizaciónde una diferencia de cuadros. Se sabe que: a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b) ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. Ejemplos: 1) 2)
9x ? 4y 25x
4 2 2 4
= (3x) ? (2y ) = (3x + 2y )(3x ? 2y )
2 2
2
2 2
2
2
? 16a b
= (5x) ? (4ab) = ( 5x + 4ab)(5x ? 4ab)
2 2 2 2 2 2
2
2
3)
x ? 16 = (x ) ? (4) = (x + 4)(x ? 4) = (x +4)[(x) ? (2) ] = = (x + 4)(x + 2)(x ? 2) x
2 2
2 2
4)
16
?
y
2
9
=?
? x ? ? ? y ? = ? x + y ?? x ? y ? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? ? 3 ? ? 4 3 ?? 4 3 ?
2
2
b).
Factorización de un cuadrado perfecto: Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:
(a + b) = a + 2ab + b
2 2 2
y también (a ? b) 2 = a 2 ? 2ab + b 2
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es elcuadrado de otra cantidad, así tenemos que 4a 2 es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a . Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando este binomio al cuadrado. Ejemplos:1) 2)
m + 2m + 1 = (m + 1) = (m + 1)(m + 1) 4x + 25y ? 20xy . Ordenando y factorizando, se tiene: 4x ? 20xy + 25y
2 2 2 2 2 2
= (2x ? 5y) = (2x ? 5y)(2x ? 5y) = (1 ? 8ax ) = (1 ? 8ax )(1 ? 8ax )
2 2 2 2 2
2
3) 4)
1 ? 16ax + 64a x
2 2
2
2
4
9x ? 12xy + 4y = (3x ? 2y) = (3x ? 2y)(3x ? 2y)
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS4-2
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5)
4x + 4xy + y = (2x + y) = (2x + y)(2x + y) 1 4
2
2
2
6)
x +x+
2
= ?x +
? ?
? ? = ?x + 2? ?
2
1?
2
1? ?? x + ? 2 ?? 2?
1 ??
7)
a
2
16 1
?
3 2
ab + 9b =
2
? a ? 3b ? = ? a ? 3b ?? a ? 3b ? ? ? ? ?? ? ?4 ? ?4 ?? 4 ?
2
8)
? 1 b ? ? 1 b ?? 1 b ? ? + =…
