ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

OBJETIVO GENERAL: AL TERMINO DEL DIFERENCIALES. CURSO EL ALUMNO RESOLVERÁ ECUACIONES

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL 1.1 Que es una ecuación diferencial 1.2 Definición de una ecuación diferencial 1.3 Definiciones básicas 1.4 Tipos de ecuaciones diferenciales 1.5 Solución de una ecuación diferencial UNIDAD II. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMERORDEN 2.1 Ecuación diferencial de variables separables 2.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 2.4 Factores integrantes 2.5 Ecuaciones diferenciales lineales de primer grado 2.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli UNIDAD III. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3.1 Ecuación lineal general 3.2 Ecuación diferencial homogénea 3.3 Independencia lineal 3.4Ecuación diferencial no homogénea 3.5 Método de coeficientes indeterminados 3.6 Variación de parámetros UNIDAD IV. TRANSFORMADAS DE LAPLACE UNIDAD V. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD VI. SERIE DE FOURIER

UNIDAD I. Ecuaciones diferenciales en general. DEFINICIÓN-. Una ecuación diferencial es una ecuación que tiene diferenciales o derivadas. y = f (x ) dy = f ‘ ( x )dx Diferencial dy =f ‘ (x ) Derivada dx
Ejemplos: dy = cos x dx d2y dy +k =0 2 dx dx x 2 + y 2 dx ? 2 xydy = 0

Primer orden Segundo orden, Primer grado Primer orden, No lineal

(

)

ORDEN-. El orden de una ecuación diferencial será igual al orden de la derivada más alta contenida en la ecuación.

y = f (x ) dy = f ‘ (x ) dx d2y = f ‘ ‘ (x ) dx 2 M dny = f n (x ) n dx
3

Primer orden Segundo ordenn orden

? d 2w ? dw ? 2 ? ?x +w=0 Segundo orden, tercer grado, no lineal ? dx ? dx ? ? y = x 2 + 2x dy = 2x + 2 (2 x + 2)2 = 4 x 2 + 8 x + 4 dx d2y =2 dx 2
GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL-. Será igual al exponente que esté elevada la derivada más alta.

d2y ? dy ? + 7? ? ? 8 y = 0 2 dx ? dx ? z = f ( x, y )

3

Segundo orden, Primer grado, No lineal

?z ?z , ?x ?y dy = f ‘ (x ) dx?f ?f dz = dx + dy ?x ?x

Derivadas parciales Derivada ordinaria Diferencial

CLASIFICACION-. Las ecuaciones diferenciales por su tipo pueden clasificarse en: Ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) y Ecuación diferencial parcial. Ecuaciones diferenciales parciales: ?2 y ?2 y + =0 ?x 2 ?y 2 ?f ?f x +y = nf ?y ?x

Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por su orden en: Primerorden, segundo orden, n orden. Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por en: Lineales y No lineales. LINEAL.-Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que cumple las siguientes características: La variable dependiente y todas sus derivadas serán de primer grado. El coeficiente de la variable dependiente y de todas sus derivadas serán funciones en lavariable independiente (an( x ) y n ) + … + a 2 ( x ) y + a1 ( x ) y + a 0 ( x ) y. El segundo miembro estará en función de la variable independiente. No Lineales.- Las que no son lineales. d 2i di 1 L 2 + R + i = Ew cos wt dt c dt Lineal

Solución de una E.D.O. x+2=5? x =3 3+ 2 = 5 5=5
dy = senx ? y = cos x dx d (? cos x ) = senx dx senx = senx

dy 2 dy = 2y dx dx d (2 x + 1)2 = 2(2 x +1)(2) dx DEFINICIÓN.- La solución de una E. D. O. Es una relación entre variables que no tienen derivadas ni diferenciales y que satisfacen a dicha ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) Las soluciones se pueden clasificar en: Solución general.- Son aquellas soluciones que tienen una o varias constantes, geométricamente nos representa una familia de curvas. Solución particular.- Son aquellassoluciones que se obtienen de las soluciones generales, sustituyendo las constantes por valores específicos, geométricamente nos representa una curva. Solución singular.- Son soluciones que no se pueden obtener de las soluciones generales. Ejemplo: Supongamos que: x 2 + y 2 = c 2 es la solución general de una ecuación diferencial. dy 2x + 2 y =0 dx dy x =? dx y Soluciones particulares: x2 + y2 =…