MÉTODOS ENERGÉTICOS APLICADOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
ANTECESORES ? ? ? LEONARDO DA VINCI (1452-1519). Principio de la velocidad relativa. JOAN BERNOULLI (1667-1748). Primero en establecer el principio del trabajo virtual y aplicarlo a sistemas mecánicos. J. L. LAGRANGE (1736-1813). Tratado sobre mecánica analítica. Es un clásico sobre principios de energía mecánica. D’ALAMBERT LAGRANGEHAMILTON ? ?
Extendieron el principio del trabajo virtual a la cinética
M AYER Y JOULE. La equivalencia entre calor y trabajo dio origen a la ciencia de la termodinámica. G. W. LEIBNIZ (1646-1716). Propone el principio de la energía cinética, que da origen a la mecánica de fluidos. TRABAJO
y partícula
? F
?
A
? r
0
? dr
A’
? r
1
= vector de posición de la partícula enA
1
? r
2
x
= vector fuerza que actúa sobre la partícula en la posición A
? F
? d r = vector desplazamiento de la partícula
de la posición A a A’
z
cuerpo
? r
? F
=
2
= vector de posición de la partícula en A
Si multiplicamos escalarmente el vector
y el vector desplazamiento dW trabajo
? d r , tenemos:
? ? F ? dr
Así que; el trabajo realizadopor una partícula, se define como el producto escalar de la fuerza
? F
durante el desplazamiento
? dr .
El trabajo total de todas las partículas que se desplazan en un cuerpo mediante la acción de fuerzas externas será:
?W =
? ? F ? dr ?
Energía
La energía se define como la capacidad que tienen los cuerpos que tienen para realizar un trabajo. Energía Cinética Energía MecánicaEnergía Potencial PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
? a
?
? F
?
? b
? ? ? ? a ? b ? a ? b cos?
Aplicando el concepto de trabajo, obtenemos lo siguiente:
? Ft
? dr
?W ? ? F ? dr ? ? Fdr cos? ? ? F cos? dr ; donde : F cos? ? Ft
ri ri ri
rf
rf
rf
? ? ? ? Ft dr ; donde : F ? md ? F ? md
ri
rf
? ? md dr ; donde d ?
ri
rf
dv dt
dr dr ? m ? dr ? ? dr dt dtri vi
v2 ?W ? m ? v dv ? m 2 vi
vf vf
rf
vf
vi
? v 2 v i2 ? f ? m? ? ? 2? ?2 ? ?
mvi2 ?W ? ? ? 2 2 ? ?
Energía cinética Energía cinética
mv 2 f
?W ? ?Ecinética
PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA.
?W ? ? ?E potencial
PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA POTENCIAL
k
1 Epotencial ? kx 2 2
donde : k ? rigidez x ? desplazami ento
xo
x
xf
TRABAJOVIRTUAL Y ENERGÍA POTENCIAL VIRTUAL Consideremos un cuerpo o estructura en equilibrio sometida a la acción de un conjunto de cargas o fuerzas generalizadas que denotaremos con la letra {P}.
? P1 ? ?P ? ? 2? ?P ? ?P? ? ? 3 ? ? ? ? P4 ? ? P5 ? ? ? ? Pn ? ? ?
P
P
1
2
P
3
P
n
P
5
P
4
Aplicando esto en un marco estructural, tenemos lo siguiente:
P
P
2x
2yP
y
3y
2
3 x
P
3x
1
4
M
1z
P
1x
P
4x
P
1y
P
4y
? ? P1x ? ? ? ? ? ? P1 y ? ? ?M 1z ? ? ? ? ??P1 ?? ? ? P2 x ? ? ? ? ? P2 y ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ??P ?? ? P?? 2 ??? ? ? ? ? ?? P3 x ? 0 ? ??P3 ?? ?? P3 y ? ? ? ? ? ?? ? ? ??M 3 x ? 0? ? ? ? P4 x ? ? ? ? ? ? P4 y ? ? ?M 4 z ? ? ? ?
Y a su correspondiente vector de desplazamientos generalizadoslo denotaremos con la letra {d}.
?d1 ? ?d ? ? 2? ?d ? ?d ? ? ? 3 ? ? ? ?d 4 ? ?d 5 ? ? ? ?d n ? ? ?
d
d
y
x
?
z
Supongamos además que esta estructura es homogénea y de comportamiento no lineal. Al realizar la gráfica representativa de fuerzas contra desplazamientos de la estructura, y de igual manera los esfuerzos que se presentan en el interior contra las correspondientesdeformaciones, tendremos lo siguiente:
P
?w?
{P} ? {? P}
{? p}
{P}
w?
{? d }
w
?w
{d }
w ? Trabajo} ?w
{d } ? {? d }
d
? ?F ??d ?
w * ? Trabajo complement ario.
{? }
?u ?
{? } ? {? ? }
{? ? }
{? }
u?
u
{? }
{?? }
?u
{? } ? {? ? }
u ? Energía potencial int erna u * ? Energía potencial int erna complement aria.
Si esto lo vemos…
