Teorema fundamental del cálculo integral
El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Estosignifica que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada cálculo.
Una consecuenciadirecta de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.
Aunque losantiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas fue gracias a una idea originalmente desarrollada por elmatemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Los teoremas fundamentales del cálculo integral

Primer teoremafundamental

Declaración

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por [pic]con [pic]fijo. El teorema dice que si f es continua en [pic], entonces F es derivable enc y F'(c) = f(c).

Demostración

Lema importante
Sopongamos que f es integrable sobre [a,b] y que
[pic]
Entonces
[pic]

Empezamos la demostración
Hipótesis:
Sea [pic].Sea f una función integrable sobre el intervalo [a,b] y continua en c.
Sea F una función sobre [a,b] definida así: [pic]con [pic]

Tésis:
F'(c)=f(c)

Por definición tenemos:[pic].
Supongamos que h>0. Entonces [pic].
Definimos mh y Mh como:
[pic],
[pic]
Aplicando el ‘lema’ vemos que
[pic].
Por lo tanto,
[pic]
Ahora supongamos que h < 0. Sean[pic],
[pic].
Aplicando el ‘lema’ vemos que
[pic].
Como
[pic],
Entonces
[pic].
Puesto que h < 0, entonces tenemos que
[pic].

Y como f es continua…