Teoría elemental de conjuntos

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Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p’ que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee “no p”.
A partir de una o variasproposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

p | p’ |
1 | 0|
0 | 1 |
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p ? q, y se lee “p y q”.

p | q | p ? q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,
y falsa en caso contrario. Se escribe p ? q, y se lee “p o q”.

p | q | p ? q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ? q, y se lee “p o q pero no ambas”. Se usa muy poco.

p | q | p ? q |
1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la
condición necesaria q es falsa. Se escribe p ? q, y se lee “si pentonces q”.

p | q | p ? q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,
y falsa en caso contrario. Se escribe p ? q, y se lee “si y sólo si p entonces q”.

p | q | p ? q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
Una proposición sedice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p ? p’.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p ? p’.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignarningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p=”la proposición p es falsa”.

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p ? q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones p ? q
y
q’ ? p’
son equivalentes. Esta ley se llama “ley del contrarrecíproco”, y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más “resultados lógicos” a través de su relación con la teoría de conjuntos.

Números naturales : principio de inducción

Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerarlos números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, … }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
“Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m ? S
y que
n ??S ? n+1 ? S
Entonces S = { m,m+1,m+2, … }”…