1 Facultad de Ingenieria Calculo I Curso 2006

Ejercicios de Taylor.
Ejercicio 1. Encontrar el polinomios de Taylor en x = 0 asociado a cada una de las siguientes funciones:
a)f(x) = ex , b)f (x) = sen(x), c)f (x) = cos(x), d)f (x) = L(x + 1),

e)f (x) = e?x ,

f )f (x) = senh(x),

g)f (x) =

1 1?x

Ejercicio 2.
i) l´ ?m

a) Mediante desarollosde Taylor calcular los siguientes l´ ?mites: ii) l´ ?m sen(x) ? tg(x) (discutir seg´n ? ? R), u x? iii) l´ ?m L|sen(x)| L|sen(2x)|

ex ? 1 ? x , x?0 x2

x?0

x??

b) clasi?carlas siguientes series: 1 1 i) e n ? 1 ? n . 1 1 ii) sen( n ) ? tg( n ). iii) 1/n ? sen(1/n). vi) Arcsen(1/n) ? 1/n.

Ejercicio 3. Determinar las constantes en cada uno de los casossiguientes:
i) a, b, c ? R si l´ x?0 aL(1?x)+bL(1+x)+3x = c. ?m x3 ii) a, b ? R si l´ x?0 x?3 sen(3x) + ax?2 + b = 0. ?m ax x iii) a, A ? R si l´ x?0 e ?e ?x = A ?m x2
2Ejercicio 4. i) Probar que la funci´n f (x) = ex ? x ? x2 /2 ? x3 /6 tiene un m´ o ?nimo en x = 0 (usar el desarrollo
de Taylor en x = 0 de ex ). ii) Mostrar que f (x) = x2 (1 ? cos(x)) +x5 cos(2x) cumple que f (0) = f (0) = f (0) = f (0) = 0 y que ?nimo relativo en x = 0. f iv (0) = 12. Como consecuencia demostrar que f tiene un m´

Ejercicio 5. Demostrar lasiguiente proposici´n: o
Sean f : I ? R y a ? I tales que existe f (n) (a) ? R y f (n?1) es continua en un cierto E(a) ? I. Si f (k) (a) = 0 para k = 0, …, n ? 1 y f (n) (a) = 0,entonces: ?nimo relativo en x = a. i) Si n es par y f (n) (a) > 0, f tiene un m´ (n) ii) Si n es par y f (a) < 0, f tiene un m´ximo relativo en x = a. a iii) Si n es impar f no tiene unextremo relativo en x = a. u Ejercicio 6. Determinar un valor aproximado para el n´mero e cometiendo un error menor que 10?6 (usar la expresi´n de Lagrange para el resto). o