Índice

UNIDAD # 4

Objetivos

4.1 Definición de Función de dos Variables

4.2 Graficas de Funciones de dos Variables

4.3 Curvas y Superficies de Nivel

4.4 Límites y Continuidad

Objetivos

– Entender la notación para una función de varias variables

– Dibujar la gráfica de una funcion de dos variables

– Dibujar las curvas de nivel de unafunción de dos variables

– Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables

– Entender la definición entorno en el plano

– Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables

– Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables

– UNIDAD 4
Funciones de varias variables
4.1Definición de Funciones de dos Variables

4.1.1 Definiciones:

Función de una variable. Una función de una variable es una correspondencia entre dos magnitudes. Por ejemplo, el espacio y el tiempo.

[pic]
La gráfica de una función de una variable es una curva en el plano.
[pic]
Fig. Gráfica de una función de una variable.
La circunferencia no es la grafica de una función.

Para que unacurva represente una función no puede tener dos puntos en misma vertical. Es decir, para que una correspondencia entre dos magnitudes sea función, la imagen tiene que ser única. Para poder aplicar las propiedades de las funciones a las funciones a la correspondencia que no lo son hay que descomponerlas en funciones. Por ejemplo, la circunferencia x2 + y2 = 1 no es una función, porque para cadavalor de una de las variables hay dos valores de la otra. En efecto, tenemos: x2 + y2 = 1

Fig. La circunferencia no es una función, pero podemos descomponerla en dos funciones.

Función de varias variables. Una función de varias variables es una correspondencia entre más de dos magnitudes.
Ejemplo: Si expresamos el área de un triangulo en función de la base y de la altura, tendremos unafunción de dos variables.

[pic]

Ejemplo: Si expresamos el volumen de un paralelepípedo rectangular (caja de zapatos) en función de sus aristas, tendremos una función de tres variables.

A la magnitud que se despeja se le llama variable dependiente y a las otras variables independientes.
A las funciones de varias variables también se les llama campos escalares. Igual que en una variable, para quela correspondencia sea función la imagen tiene que ser única. Para poder aplicar las propiedades de las funciones a las correspondencias que no lo son, hay que descomponerlas en funciones.
Ejemplo: La esfera: x2 + y2 + z2 = 1 no es una función, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos valores de la tercera.
[pic]

Dominio una función de varias variables: El dominio deuna función se define como el conjunto de puntos que tienen imagen.

En la práctica el dominio de una función de varias variables viene determinado por el contexto del problema. En general se entiende que el dominio viene implícito en la propia formula y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la formula que define la función. (Si el dominio es maspequeño hay que indicarlo). Por ejemplo, si definimos la función a = 1/2xy el dominio sería cualquier pareja de números reales (x,y).
Ahora bien, si queremos que esa función represente el área de un triangulo, los valores x e y tienen que ser positivos. Por lo tanto dicha restricción habrá que indicarla junto con la formula a = 1/2xy x > 0, y > 0. Si no se indica ninguna restricción estamossuponiendo que el dominio es el máximo “permitido” por la formula.
El dominio de una función de dos variables f (x; y) sería una región del plano, y el dominio de una función de tres variables f(x; y; z) una región del espacio.

Se llama Recorrido de una función al conjunto de elementos que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y sólo en casos particulares nos ocuparemos del…