Métodos eliminación Gaussiana y método Gauss – Jordan
Introducción
Las matemáticas en la actualidad siguen siendo una materia importante para dar solución a los problemas que se nos presentan día a día, por ello es necesario, entenderla y aplicarla para desarrollar diferentes procesos mentales además de habilidades matemáticas que todos los seres humanos debemos de usar, es por ello que en laasignatura de matemáticas IV, la propuesta del análisis sobre el método de eliminación Gaussiana y el método de Gauss – Jordan para resolver ecuaciones lineales en el presente ensayo, es para desarrollar las competencias necesarias para el logro del objetivo.
A continuación se explican literalmente estos métodos para desarrollar las ideas pertinentes alrededor del tema.
Definición de EliminaciónGaussiana
… “En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.”
Definición del Método Gauss – Jordan
… “El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gaussiana. Laprincipal diferencia consiste en que método de Gauss-Jordan cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular. “
La solución de ecuaciones lineales por el método de eliminación Gaussiana y método de Gauss – Jordan, nos permite obtener lasolución de un número de ecuaciones.
Para comenzar es necesario definir una ecuación lineal, siendo esta un planteamiento de igualdad, en la cual se pueden incluir una o más variables, y que no contiene productos entre las variables, esto es, una ecuación que implica solamente sumas y restas de una variable, teniendo como característica que en el sistema cartesiano representan rectas.
La forma comúnde ecuaciones lineales es:
y = m * x + b
Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son:
6x + 5y = 10
8x + y – 3 = -2x + 9y + 4
a – b + c = 20
7x – 5y + z = 15
La definición de una ecuación lineal nos permite continuar con la explicación de los métodos eliminación Gaussiana yel de método Gauss – Jordan, siendo el primero el método que propone eliminar progresivamente las variables en un sistema de ecuaciones, para finalmente llegar a tener solo una ecuación con una incógnita, ya teniendo esta se obtienen los demás valores por el método de sustitución, la segunda es un algoritmo del álgebra lineal que nos permite determinar las soluciones de un sistema de ecuacioneslineales, así como encontrar matrices y matrices inversas.
El método de eliminación Gaussiana nos permite resolver sistemas lineales de la siguiente forma:
A * X = B
Este consiste en consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema:
(A ? B)
Para obtener un sistema equivalente:
Para comprender mejor estos métodos la mejor forma es realizar un ejemplo paso a paso que a continuación sepresenta:
Resolver el siguiente sistema por el método de eliminación Gaussiana y método Gauss – Jordan:
2×1 + x2 – x3 = 1 |
5×1 + 2×2 + 2×3 = – 4 |
3×1 + x2 + x3 = 5 |
| |
SOLUCION:
1.- Comenzamos escribiendo la matriz:
2 1 -1 1 (R1)
5 2 2 -4 (R2)
3 1 1 5 (R3)
2.- A continuación realizamos el primer pivoteo, que consiste en dividir el renglón uno (R1) entre 2, colocando el resultado en(R1):
1 1/2 -1/2 1/2
5 2 2 -4
3 1 1 5
| |
3.- Para obtener ceros debajo del pivoteo, multiplicamos -5 por (R1) y le sumamos (R2) colocándolo en (R2), a continuación multiplicamos -3 por (R1) y le sumamos (R3) colocándolo en (R3) obtenemos:
1 1/2 -1/2 1/2
0 -1/2 9/2 -13/2
0 -1/2 5/2 – 7/2
4.- Ahora, para realizar el siguiente pivote, multiplicamos -2 por (R2) y lo…
