Identidades trigonométricas
De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde Identidad trigonométrica)
Saltar a navegación, búsqueda

Todas las funciones en O.

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquiervalor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar unaregla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2?, sen2?, etc; tales que sen2? es (sen ?)2.
Relación pitagórica | |
Identidad de la razón | |
Relaciones básicas [editar]
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones deconversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó ?). Por ejemplo, si sen ? = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está ?.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. |
Función | sen | cos | tan | csc | sec | cot |
sen | | | | | | |
cos | | | | | | |tan | | | | | | |
csc | | | | | | |
sec | | | | | | |
cot | | | | | | |
De las definiciones de las funciones trigonométricas

Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (tiene radio=1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, estambién una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo,si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones .
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos [editar]
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge delcociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Identidades del ángulo múltiple [editar]
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades del ángulo doble, triple y medio [editar]
Pueden obtenerse remplazándolo ypor x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.
Fórmula del ángulo doble |
| | | |
Fórmula el ángulo triple |
| | | |
Fórmula del ángulo medio |
| | | |
Producto infinito de Euler [editar]

Identidadespara la reducción de exponentes [editar]
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno | | |
Coseno | | | |
Otros | | | |

Paso de producto a suma [editar]
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

¿De dónde se origina ? [editar]
Esta explicación muestra cómo obtener la fórmula anterior paso por paso (en…